ลำดับและอนุกรมเลขคณิต (Arithmetic Progression)

ลำดับและอนุกรมเลขคณิต (Arithmetic Progression)

ลำดับเลขคณิต

ลำดับเลขคณิตคือ ลำดับที่ พจน์ขวา (an+1)$(a_{n+1})$ −$-$ พจน์ซ้าย (an)=d$(a_n)=d$ เป็นค่าคงตัวเท่ากันตลอดนั่นคือ

an+1−an=d$$a_{n+1}-a_n=d$$

ข้อสังเกต ถ้ากำหนดให้ a1,a2,…,an,an+1,…$a_1,a_2,\dots ,a_n,a_{n+1},\dots$ เป็นลำดับเลขคณิตแล้ว

a2−a1=a3−a2=…=an+1−an=d$$a_2-a_1=a_3-a_2=\dots =a_{n+1}-a_n=d$$

ดังนั้น  ลำดับเลขคณิต a1,a2,…,an,an+1,…$a_1,a_2,\dots ,a_n,a_{n+1},\dots$  จึงเขียนได้อีกแบบเป็น

a1, a1+d, a1+2d,…, a1+(n−1)d, a1+nd,…$$a_1,a_1+d,a_1+2d,\dots ,a_1+(n-1)d,a_1+nd,\dots$$

สูตร หาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตคือ

an=a1+(n−1)d$$a_n=a_1+(n-1)d$$

การหาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต

จงหาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต 1,6,11,16,…$1,6,11,16,\dots$

จากโจทย์เรารู้ค่า a1=1$a_1=1$  และ  d=6−1=5$d=6-1=5$ 

จากสูตรการหาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตคือ   an=a1+(n−1)d$a_n=a_1+(n-1)d$

เราจะได้ an=1+(n−1)5=5n−4$a_n=1+(n-1)5=5n-4$

---

 [Ent' 39]  จงหาค่า m$m$ ซึ่งเป็นจำนวนเต็มที่น้อยที่สุด ที่ทำให้ am$a_m$ ของลำดับเลขคณิต 2,5,8,…$2,5,8,\dots$ มีค่ามากกว่า 1,000$1,000$

เรารู้ค่า a1=2$a_1=2$ และ d=5−2=3$d=5-2=3$    เราสมมติ am=1,000$a_m=1,000$ เมื่อเรานำค่าต่างๆมาแทนในสูตร จะได้

1000=2+3(m−1)$$1000=2+3(m-1)$$

เมื่อแก้สมการออกมาจะได้ค่า m≈333.66$m\approx 333.66$ ซึ่งค่า m$m$ ที่เราต้องการเป็นจำนวนเต็ม

ถ้าเราตอบ m=333$m=333$ จะได้ว่า a333=2+3×(333−1)=2+996=998$a_{333}=2+3\times (333-1)=2+996=998$ แต่ a334=2+3×(334−1)=2+999=1001$a_{334}=2+3\times (334-1)=2+999=1001$ ซึ่งมีค่ามากกว่า 1,000$1,000$

ดังนั้นจึงตอบ m=334$m=334$

อนุกรมเลขคณิต

อนุกรมเลขคณิตคือ อนุกรมที่เกิดจากการนำลำดับเลขคณิตมาบวกกัน

ให้ a1,a1+d,…,a1+(n−1)d$a_1,a_1+d,\dots ,a_1+(n-1)d$ เป็นลำดับเลขคณิต

จะได้อนุกรมเลขคณิตดังนี้

S1S2S3Sn===⋮=a1a1+(a1+d)=2a1+da1+(a1+d)+(a1+2d)=3a1+3dn2(2a1+(n−1)d) และ n2(a1+an)$$\begin{array}{rcl}{S}_1& =& a_1\\ S_2& =& a_1+(a_1+d)=2a_1+d\\ S_3& =& a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)=3a_1+3d\\ & ⋮\\ S_n& =& \frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)\text{ และ }\frac{n}{2}(a_1+a_n)\end{array}$$

สูตร ผลรวม n$n$ พจน์ของอนุกรมเลขคณิตคือ

n2(2a1+(n−1)d) และ n2(a1+an)$${\displaystyle \frac{n}{2}\left(2a_1+(n-1)d\right)\text{ และ }{\displaystyle \frac{n}{2}\left(a_1+a_n\right)}}$$

ข้อสังเกต

• พจน์ที่ n$n$ ของอนุกรมเลขคณิตยังคงเป็นสูตรเดียวกับลำดับเลขคณิต คือ an=a1(n−1)d$a_n=a_1\left(n-1\right)d$ เพราะถือว่าเป็นตัวที่ n$n$ ไม่ใช่ผลรวม n$n$ พจน์
• ผลรวม n$n$ พจน์ หรือ ผลบวก n$n$ พจน์ มีชื่อเรียกอีกชื่อหนึ่งว่าผลบวกย่อย เขียนแทนด้วย Sn$S_n$
• ใช้สูตร Sn=n2(2a1+(n−1)d)$S_n=\frac{n}{2}\left(2a_1+(n-1)d\right)$ เมื่อทราบ a1$a_1$ และ d$d$ โดยไม่ต้องคำนวณพจน์สุดท้าย (an$a_n$)
• ใช้สูตร Sn=n2(a1+an)$S_n=\frac{n}{2}\left(a_1+a_n\right)$ เมื่อทราบค่าของ a1$a_1$ และพจน์สุดท้าย (an$a_n$)

ตัวอย่างการหาผลบวก n$n$ พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต

จงหาผลบวก n$n$ พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต  3+9+15+21+…$3+9+15+21+\dots$

จากโจทย์อนุกรมที่กำหนดให้มี a1=3$a_1=3$ และ d=6$d=6$

จากสูตร n2(2a1+(n−1)d)${\displaystyle \frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)}$ 

จะได้

Sn====n2[2×3+(n−1)×6]n2[6+(n−1)×6]n2(6n)3n2$$\begin{array}{rl}{S}_n=& \frac{n}{2}[2\times 3+(n-1)\times 6]\\ =& \frac{n}{2}[6+(n-1)\times 6]\\ =& \frac{n}{2}(6n)\\ =& 3n^2\end{array}$$

3n2$3n^2$